Занимался звездной астрономией, небесной механикой и астрофизикой. В Боннской обсерватории участвовал в позиционных наблюдениях звезд для каталога AGK; в экспедиции на Оклендские острова наблюдал прохождение Венеры по диску Солнца. В 1884–1909 на основе звездного каталога «Боннское обозрение» выполнил первые статистические исследования пространственного распределения звезд. Первым развил соответствующий математический аппарат, вывел интегральное уравнение, определяющее светимость и звездную плотность через известное из подсчетов число звезд до данной звездной величины. Сформулировал носящую его имя теорему, согласно которой при отсутствии межзвездного поглощения и равномерном распределении звезд в пространстве число звезд до данной величины при переходе от одной величины к следующей возрастает в 3.98 раза. Исходя из этой теоремы и опираясь на подсчеты звезд до 13.5 звездной величины, предложил в 1920 свою модель Галактики, согласно которой пространственная плотность звезд быстро падает в направлении полюсов Галактики и менее быстро, но все же падает с удалением от Солнца в плоскости Млечного Пути (последнее обстоятельство, как выяснилось позже, в основном связано с поглощением света далеких звезд облаками межзвездной пыли, заполняющими Млечный Путь).
Зелигер сформулировал один из классических парадоксов космологии – гравитационный парадокс, который заключается в том, что, согласно ньютоновской теории тяготения, в бесконечной Вселенной при бесконечно большой ее массе сила тяготения в любой точке пространства не имеет определенной конечной величины. Этот парадокс находит свое разрешение в теории тяготения Эйнштейна, а также в признании иерархичности строения Вселенной.
Исходя из теории Максвелла, по которой кольца Сатурна состоят из отдельных мелких частиц, Зелигер пришел к выводу, что вследствие взаимных затмений и экранирования частиц друг другом альбедо колец должно быть максимальным в оппозиции и уменьшаться при других фазовых углах. Дальнейшие фотометрические исследования колец показали, что их яркость изменяется в согласии с формулой Зелигера, и тем самым подтвердили справедливость теории Максвелла.
Зелигер пытался объяснить движение перигелия Меркурия и другие неувязки в движении внутренних планет гравитационным влиянием межпланетного вещества, вызывающего явление зодиакального света, и рассчитал необходимые для этого плотность и размеры облака межпланетного вещества. Предложил гипотезу, согласно которой вспышки новых происходят при встречах звезд с движущимися туманностями. Исследовал двойные и кратные звезды.
Зелигер был председателем Немецкого астрономического общества (1896–1921). С 1913 – иностранный член-корреспондент С.-Петербургской Академии наук (1913).
Умер Зелигер 2 декабря 1924.
ХУГО ЗЕЛИГЕРЗельманов А.Л. Гравитационный парадокс. – Физический энциклопедический словарь, т. 1. М., 1960
Паннекук А. История астрономии. М., 1966
Наан Г.И. Космологические парадоксы. – БСЭ, 1973, т. 13
