Ток. Сила электрического тока в проводе определяется как электрический заряд, проходящий через поперечное сечение провода за единицу времени. Заряд измеряется в кулонах; один кулон в секунду равен одному амперу.
Направлением тока далее будем считать направление, в котором двигались бы положительные заряды. На самом деле ток в большинстве случаев создается движением электронов, которые, будучи заряжены отрицательно, движутся в направлении, противоположном принятому за направление тока. Ток неизменяющейся силы обозначается через I, а мгновенное значение изменяющегося тока – через i.
Потенциал. Если для перемещения заряда между двумя точками необходимо затратить энергию или если при перемещении заряда между двумя точками заряд приобретает энергию, то говорят, что в этих точках имеется разность потенциалов. Энергия необходима для перемещения заряда от более низкого потенциала к более высокому. На схемах рядом с точкой более высокого потенциала ставится знак +, а рядом с точкой более низкого – знак -.
Батарея или генератор электрического тока – это устройство, которое сообщает энергию зарядам. Источник тока перемещает положительные заряды от меньшего потенциала к большему за счет химической энергии. Неизменяющаяся разность потенциалов обозначается через V, а мгновенное значение изменяющейся разности потенциалов – через e.
Разность потенциалов на зажимах батареи или генератора называется электродвижущей силой (ЭДС) и обозначается через Eg, если она не изменяется, и через eg, если она переменна. Разность потенциалов в двух точках a и b обозначается через Vab. Разность потенциалов и ЭДС измеряются в вольтах.
На рис. 1 представлена цепь с двумя контурами. Стрелками I1, I2 и I3 показано предполагаемое направление токов в импедансах этих контуров. От токов не требуется, чтобы они были в фазе; но в простейшем случае, когда импедансы – сопротивления, решение уравнений относительно любого тока I будет отрицательным, если принято неправильное направление тока. Поэтому предполагаемое направление токов может быть любым. Принятые положительные и отрицательные потенциалы, соответствующие ЭДС источников напряжения, указаны знаками + и -. Следует иметь в виду, что напряжение на импедансе понижается в направлении тока и повышается в противоположном направлении. Это тоже указано знаками + и -.
Законы Кирхгофа. Зависимости между токами и напряжениями в электрической цепи устанавливаются на основании двух законов, сформулированных Г.Кирхгофом (1847): 1) алгебраическая сумма ЭДС источников напряжения и напряжений на элементах контура равна нулю и 2) алгебраическая сумма токов в каждом узле равна нулю.
Рис. 1. ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА. Схема для вычисления напряжений при обходе контуров.В первом законе Кирхгофа находит выражение то очевидное обстоятельство, что при полном обходе контура мы возвращаемся в исходную точку с тем же самым потенциалом. Второй закон Кирхгофа есть констатация того, что в узловой точке ток не может ни исчезать, ни возникать. Ток к узлу считается положительным, а ток от узла – отрицательным.
Применив закон Кирхгофа для напряжений к двум контурам цепи, представленной на рис. 1 (и воспользовавшись законом Ома – выражением VZ = IZ для напряжения на импедансе Z, создаваемого током I), мы получим для контура 1 уравнение
а для контура 2 – уравнение
Применив закон Кирхгофа для токов к любому из узлов, получаем
Если ЭДС (Eg)1 и (Eg)2, а также импедансы известны, то из уравнений (1)–(3) можно вычислить все три тока.
Контурные токи. В случае цепей с большим числом контуров метод контурных токов позволяет не записывать уравнения для токов, следующие из второго закона Кирхгофа. Для этого в той же цепи, что и раньше, представленной на рис. 2, принимают один ток для каждого контура. Как и прежде, направление токов выбирается произвольно. Закон Кирхгофа для напряжений дает для контура 1
а для контура 2 –
В напряжение на импедансе Z3, рассматриваемом как элемент одного контура, входит напряжение, обусловленное током другого контура: в уравнении (4) имеется слагаемое (–Z3I2), а в уравнении (5) – слагаемое (–Z3I1). Уравнения (4) и (5) можно было бы получить из уравнений (1)–(3), подставив в первые два ток I2 из третьего, но метод контурных токов приводит к тому же результату всего за два шага.
Рис. 2. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ упрощает получение тех же уравнений для токов, что и в случае рис. 1.Принцип суперпозиции. Предположим, что в активной цепи в разных ее точках имеется несколько источников напряжения или тока. Согласно принципу суперпозиции, ток, создаваемый любым источником в любом элементе цепи, не зависит от других источников. Следовательно, полный ток в любом элементе равен сумме токов, создаваемых всеми источниками по отдельности. При вычислении тока, создаваемого каждым из источников напряжения или тока, другие источники напряжения заменяются их внутренними импедансами, а другие источники тока – их внутренними проводимостями.
Теорема Тевенена. Эта теорема, называемая также теоремой об эквивалентном источнике, утверждает, что любую активную цепь с двумя полюсами (зажимами) в установившемся режиме можно заменить источником напряжения с некоторым внутренним импедансом. ЭДС эквивалентного источника напряжения равна напряжению на полюсах ненагруженного заменяемого двухполюсника, а внутренний импеданс источника равен импедансу этого двухполюсника при ЭДС источников напряжения в нем, равных нулю.
Рассмотрим, например, цепь, представленную на рис. 3. Эта активная цепь заменяется источником напряжения, ЭДС Egў и внутренний импеданс Zgў которого таковы:
ЭДС Egў есть напряжение на разомкнутых полюсах a и b, равное напряжению на Z1. Внутренний импеданс Zgў равен импедансу между точками a и b исходного двухполюсника, т.е. импедансу последовательного соединения Z2 с параллельно соединенными Z1 и Zg. Для любого элемента, присоединенного к полюсам a и b обоих двухполюсников, токи и напряжения будут одинаковы.
Рис. 3. ТЕОРЕМА ТЕВЕНЕНА. Внутренний импеданс Zgў эквивалентного источника напряжения равен импедансу между полюсами a и b, который слагается из Z2 и параллельно соединенных друг с другом Z1 и Zg.Теорема Нортона. Эта теорема, аналогичная теореме Тевенена, утверждает, что любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником тока с некоторой внутренней проводимостью. Ток эквивалентного источника равен току короткого замыкания между полюсами a и b исходного двухполюсника. Внутренняя проводимость эквивалентного источника тока определяется тем же, что и в теореме Тевенена, импедансом между полюсами двухполюсника, присоединенным параллельно источнику. На рис. 4
а импеданс Zgў дается выражением (7). Если полюса a и b исходного двухполюсника замкнуть накоротко, то источник напряжения с ЭДС Eg будет нагружен импедансом Zg и параллельным соединением импедансов Z1 и Z2, откуда и следует выражение (8).
Рис. 4. ТЕОРЕМА НОРТОНА. Позволяет заменить ту же цепь, что и на рис. 3, эквивалентным источником тока Ig с внутренней проводимостью, представленной параллельным импедансом Zgў.Преобразование Т-П. Часто требуется заменить Т-образный четырехполюсник П-образным или наоборот. Чтобы два таких четырехполюсника (рис. 5) были эквивалентны, должны быть одинаковы токи и напряжения между их полюсами при прочих равных условиях за пределами полюсов. Параметры цепи для преобразования Т ® П таковы:
Формулы для преобразования П
Т имеют вид
Рис. 5. Т- И П-ОБРАЗНЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ эквивалентны при определенных соотношениях параметров (преобразования Т ® П и П ® Т).Переходные процессы. Переходным называется процесс изменения электрических величин в цепи при ее переходе из одного установившегося режима в другой. При анализе переходных процессов ток, напряжение или заряд в некоторой точке цепи обычно представляют в виде функции времени.
Рассмотрим цепь с источником напряжения (батареей с ЭДС Eg), представленную на рис. 6. После замыкания ключа сумма мгновенных значений напряжения на резисторе и конденсаторе должна быть равна Eg:
или, иначе,
Рис. 6. ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС начинается при замыкании ключа (Eg – постоянная ЭДС батареи).Поскольку i = dq/dt, уравнение (10) можно переписать в виде дифференциального уравнения
решение которого таково:
Соответствующий ток равен:
где e – основание натуральных логарифмов.
На рис. 7 представлены графики изменения заряда конденсатора q и тока i во времени. В начальный момент (t = 0), когда ключ только замкнут, заряд конденсатора равен нулю, а ток равен Eg /R, как если бы конденсатора в цепи не было. Затем заряд конденсатора нарастает по экспоненте. Обусловленное зарядом напряжение на конденсаторе направлено навстречу ЭДС источника, и ток по экспоненте убывает до нуля. В момент замыкания ключа конденсатор эквивалентен короткому замыканию, а по истечении достаточно длительного времени (при t = Ґ) – разрыву цепи.
Рис. 7. ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС, зависимость заряда конденсатора q и тока через конденсатор i от времени t.Постоянная времени RC-цепи определяется как время, за которое заряд достигает значения, на 1/e (36,8%) отличающегося от конечного значения. Она дается выражением
Аналогичные рассуждения можно провести для RL-цепи, представленной на рис. 8. Сумма мгновенных напряжений eR и eL должна быть равна Eg. Это условие записывается в виде дифференциального уравнения
решение которого таково:
Рис. 8. RL-ЦЕПЬ. Сумма мгновенных значений напряжений eR и eL должна быть равна Eg.На рис. 9 решение (11) представлено в графической форме. Сразу же после замыкания ключа (при t = 0) ток начинает быстро увеличиваться, наводя большое напряжение на катушке индуктивности. Наведенное напряжение противодействует изменению тока. По мере того как нарастание тока замедляется, наведенное напряжение уменьшается. При t = Ґ ток не меняется, и наведенное напряжение равно нулю. Таким образом, в конце концов ток принимает значение, которое он имел бы, если бы в цепи не было катушки индуктивности. (При t = 0 катушка индуктивности эквивалентна разрыву цепи, а по истечении достаточно длительного времени – короткому замыканию.)
Рис. 9. ТОК В RL-ЦЕПИ, соответствует уравнению (11).Постоянная времени RL-цепи определяется как время, за которое ток достигает значения, на 1/e отличающегося от конечного значения. Она дается выражением
Мост Уитстона. Мост Уитстона – это схема электрической цепи для точного измерения сопротивлений на постоянном токе. Соответствующая принципиальная схема представлена на рис. 10, где измеряемое сопротивление обозначено через Rx. Остальные сопротивления известны, и их можно изменять. Если известные сопротивления подобрать так, чтобы высокочувствительный амперметр A показывал отсутствие тока, это означало бы, что потенциал точек b и c одинаков. В таком случае, обозначив ток через резисторы R1 и R3 символом I1, а ток через R2 и Rx – символом I2, можно записать
Поделив равенство (13) на (12) и решив полученное уравнение относительно Rx, находим
Рис. 10. МОСТ УИТСТОНА для измерения сопротивлений.Схемой моста Уитстона можно пользоваться и для измерения полных сопротивлений (импедансов) на переменном токе. Для этого нужно вместо батареи взять источник напряжения переменного тока, а амперметр A заменить детектором переменного тока. Анализ схемы проводится аналогично, но в комплексных обозначениях.
Интегрирующая и дифференцирующая цепи. Дифференцирующей будет при некоторых приближенно выполняющихся условиях цепь рис. 6, если в ней источником напряжения является генератор напряжения e(t), зависящего от времени. Тогда уравнение (10) будет иметь вид
При малых R и C слагаемым iR можно пренебречь по сравнению с q/C:
что дает
Это эквивалентно требованию, чтобы постоянная времени RC была мала по сравнению с периодом напряжения e(t). Если такое условие выполняется, то напряжение на резисторе дается выражением
т.е. величина eR пропорциональна производной входного напряжения.
Если постоянная времени велика, а напряжение снимается с конденсатора, то эта цепь будет интегрирующей. В таком случае в уравнении (14) можно пренебречь величиной q/C по сравнению с iR, так что
или
.
Поскольку C = dq/dt, а q = 8 idt, напряжение на конденсаторе можно записать в виде
т.е. напряжение eC пропорционально интегралу входного напряжения.
Фильтры. Фильтры – это электрические цепи, пропускающие лишь определенные частоты и задерживающие все остальные. Идеальный фильтр верхних частот имеет полосу пропускания выше заданной «частоты среза» и полосу задерживания для более низких частот. Полосовой фильтр имеет полосу пропускания, расположенную между двумя заданными частотами среза. Общая схема включения фильтра показана на рис. 11. В качестве примера на рис. 12,a представлен фильтр нижних частот, включенный между генератором и нагрузкой R. На низких частотах импеданс катушек индуктивности мал, а конденсатора – велик, и почти весь ток проходит через нагрузку R. На высоких частотах импеданс катушек индуктивности велик, из-за чего снижается ток, а импеданс конденсатора мал, так что он как бы замыкает накоротко цепь малого тока, проходящего через первую катушку индуктивности. Справа на рис. 12,a представлен график зависимости отношения E2 /(Eg /2) от частоты, деленной на частоту среза. Как нетрудно видеть, в области высоких частот сигнал быстро затухает. Однако реальная частотная характеристика заметно отличается от характеристики (с резким частотным срезом) идеального фильтра нижних частот. На рис. 12,б и в представлены схемы полосового фильтра и фильтра верхних частот с соответствующими частотными характеристиками.
Рис. 11. ФИЛЬТР для выделения определенных частот из выходного сигнала генератора.
Рис. 12. ФИЛЬТРЫ. a – фильтр нижних частот; б – полосовой фильтр; в – фильтр верхних частот. Слева – типичные схемы, справа – соответствующие частотные характеристики.Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей. М., 1975
Татур Г.А. Основы теории электрических цепей. М., 1980
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: электрические цепи. М., 1984
