Множество точек, определяющих пространство, должно удовлетворять аксиомам, опирающимся на достаточное число геометрических понятий, без которых нельзя было бы воспользоваться языком геометрии. Наиболее общие пространства, допускающие описание на языке геометрии, называются топологическими пространствами. Пространства, в которых над точками можно производить «сложение», как над векторами, называются линейными, или векторными, пространствами. (Изучением бесконечномерных пространств занимается функциональный анализ.) Метрическими называются такие пространства, в которых определено расстояние между точками. Частным случаем линейных метрических пространств являются банаховы пространства, получившие название в честь польского математика С.Банаха (1892–1945). Частным случаем банаховых пространств служат гильбертовы пространства, названные в честь немецкого математика Д.Гильберта (1862–1943). Гильбертово пространство является обобщением понятия евклидова пространства на бесконечномерный случай. В физике гильбертово пространство служит основой квантовой механики. Многие физические задачи можно решить, воспользовавшись фактами из теорий дифференциальных и интегральных уравнений, которые устанавливаются особенно просто, если использовать абстрактные пространства.